Задача 86919

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Векторное произведение ] [ Векторы (прочее) ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a , угол апофемы с соседней боковой гранью равен 45^o . Найдите радиусы вписанной и описанной сфер.

Решение

Пусть ABCP – данная правильная треугольная пирамида с вершиной P (рис.1); AB = BC = AC = a ; M – центр треугольника ABC ; K , L и N – середины отрезков AB , BC и AC соответственно. Пусть D – ортогональная проекция точки L на плоскость грани APC . По условию задачи LPD = 45^o . Обозначим PD = x . Тогда из прямоугольного треугольника LPD находим, что PL = x . Поскольку L – середина наклонной BC к плоскости грани APC , расстояние LD вдвое меньше расстояния от точки B до этой плоскости. Пусть BG – высота треугольника PBN . Тогда BG перпендикулярно плоскости грани APC , поэтому BG = 2LD = 2x . Из прямоугольного треугольника PMN находим, что

PM = = = .
Поскольку BN· PM = PN· BG , имеем уравнение
· = x· 2x.
После возведения в квадрат и очевидных упрощений получим уравнение
128x4- 24a2x2 + a4 = 0,
откуда находим, что x = или x = . Рассмотрим случай x = . Пусть α и β – углы соответственно бокового ребра и боковой грани данной пирамиды с плоскостью её основания. Тогда
cos β = cos PLM = = = , sin β = , tg β = ,

PM = ML tg β = · = ,

tg α = = = , cos α =, sin α = ,

AP = = = .
Рассмотрим сечение данной пирамиды плоскостью, проходящей через точки P , A и M (рис.2). В этой плоскости расположен центр описанной сферы, поэтому секущая плоскость пересекает сферу по окружности, радиус которой равен радиусу R описанной сферы. Продолжим отрезок AL за точку L до пересечения с этой окружностью в точке A1 . Тогда равнобедренный треугольник APA1 вписан в окружность радиуса R . По известной формуле для радиуса описанной окружности треугольника (теорема синусов) находим, что
R = = = = .
Центр O сферы радиуса r , вписанной в данную правильную пирамиду расположен на высоте PM , а сфера касается грани BPC в точке, лежащей на апофеме PL . Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью APL (рис.3). Эта плоскость пересекает сферу по окружности радиуса r , вписанной в угол ALP , причём OM = r и
r = OM = LM tg OLM = · tg .
Поскольку
tg β = ,
имеем уравнение
= .
Условию задачи удовлетворяет положительный корень этого уравнения
tg = - .
Следовательно,
r = · tg = ( - ) = .
Аналогично для x = .

Ответ

R = или R = , r = или r = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7095