Версия для печати
Убрать все задачи

---

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все внутренние углы при вершинах равны. Известно, что AB = 3, BC = 4, CD = 5 и EF = 1. Найдите длины сторон DE и AF.

   Решение

---

На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0, m), (n, 0), (n, m), где n и m — целые положительные числа (свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом.

   Решение

---

Несколько человек в течение t минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти t минут?

   Решение

---

Докажите, что если для вписанного четырехугольника ABCD выполнено равенство CD = AD + BC, то точка пересечения биссектрис углов A и B лежит на стороне CD.

   Решение

---

Даны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Докажите, что из них нельзя вычеркнуть сперва одно число, затем из оставшихся ещё два, затем ещё три и, наконец, ещё четыре числа так, чтобы после каждого вычёркивания сумма оставшихся чисел делилась на 11.

   Решение

---

Написано 1992-значное число. Каждое двузначное число, образованное соседними цифрами, делится на 17 или на 23. Последняя цифра числа 1. Какова первая?

   Решение

---

Из выпуклого многогранника с 9 вершинами, одна из которых A, параллельными переносами, переводящими A в каждую из остальных вершин, образуется 8 равных ему многогранников. Докажите, что хотя бы два из этих 8 многогранников пересекаются (по внутренним точкам).

   Решение

---

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире №333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

   Решение

---

На прямой выбрали четыре точки A, B, C, D и измерили расстояния AB, AC, AD, BC, BD и CD. Могут ли они быть равными (в порядке возрастания)
  а) 1, 2, 3, 4, 5, 6;
  б) 1, 1, 1, 2, 2, 4.

   Решение

---

Как соединить 50 городов наименьшим числом авиалиний так, чтобы из каждого города можно было попасть в любой, сделав не более двух пересадок?

   Решение

Темы:    [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Основанием треугольной пирамиды ABCD является треугольник ABC , в котором A = , C = , BC = 2 . Рёбра AD , BD , CD равны между собой. Сфера радиуса 1 касается рёбер AD , BD , продолжения ребра CD за точку D и плоскости ABC . Найдите отрезок касательной, проведённой из точки A к сфере.

Решение

Поскольку боковые рёбра DA , DB и DC треугольной пирамиды ABCD равны, её высота, проведённая из вершины D , проходит через центр H описанной около основания ABC окружности, а т.к. треугольник ABC прямоугольный, то точка H – середина его гипотенузы BC . Кроме того, плоскость грани BCD перпендикулярна плоскости основания пирамиды, т.к. она проходит через перпендикуляр DH к этой плоскости. Пусть с сфера с центром O и радиусом 1 касается плоскости основания ABC в точке M , а прямых DC , DA и DB – в точках P , Q и R соответственно. Рассмотрим сечение сферы плоскостью грани BCD . Получим окружность с центром в некоторой точке O1 , вписанную в угол PDR Поскольку треугольник BDC равнобедренный, биссектриса его внешнего угла PDR при вершине параллельна основаниию BC . Значит, прямая DO1 параллельна плоскости основания пирамиды. Пусть F – ортогональная проекция точки O1 на прямую BC . Тогда O1F – перпендикуляр к плоскости основания ABC , а т.к. OO1 – перпендикуляр к плоскости грани BCD , то DH = O1F = OM = 1 . Из прямоугольного треугольника BHD находим, что

DB = = = .
Обозначим AM = x . Тогда AQ = AM = x как отрезки касательных, проведённых к сфере из точки A . Поэтому
DR = DQ = DA - AQ = - x,

BM = BR = DB - DR = - ( - x) = x,

DP = DR = - x.
Из равенства MA = MB следует, что точка M лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB треугольника ABC , т.е. на средней линии HE этого треугольника или на её продолжении. Тогда либо MH = EH + EM , либо MH = EH - EM . В первом случае имеем:
MH = OD = = = ,

EH = AC = BC cos 30^o = ,

EM = = = ,

= + .
Из полученного уравнения находим, что x = - 1 . Во втором случае
= - .
Корни этого уравнения не удовлетворяют условию задачи.

Поскольку боковые рёбра DA , DB и DC треугольной пирамиды ABCD равны, её высота, проведённая из вершины D , проходит через центр H описанной около основания ABC окружности, а т.к. треугольник ABC прямоугольный, то точка H – середина его гипотенузы BC . Кроме того, плоскость грани BCD перпендикулярна плоскости основания пирамиды, т.к. она проходит через перпендикуляр DH к этой плоскости. Пусть с сфера с центром O и радиусом 1 касается плоскости основания ABC в точке M , а прямых DC , DA и DB – в точках P , Q и R соответственно. Рассмотрим сечение сферы плоскостью грани BCD . Получим окружность с центром в некоторой точке O1 , вписанную в угол PDR . Поскольку треугольник BDC равнобедренный, биссектриса его внешнего угла PDR при вершине параллельна основаниию BC . Значит, прямая DO1 параллельна плоскости основания пирамиды. Пусть F – ортогональная проекция точки O1 на прямую BC . Тогда O1F – перпендикуляр к плоскости основания ABC , а т.к. OO1 – перпендикуляр к плоскости грани BCD , то DH = O1F = OM = 1 . Из прямоугольного треугольника BHD находим, что
DB = = = .
Отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки, равны, поэтому
DR = DP = DQ, AM = AQ = DA - DQ, BM = BR = BD - DR,
значит, AM = BM . Поэтому точка M лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB треугольника ABC , т.е. на средней линии HE этого треугольника или на её продолжении. Значит, MH || AC . Стороны равнобедренного треугольника ADC равны , и . Значит, этот треугольник прямоугольный, причём ACD = 45^o . Так как OD || MH || AC , ODP = ACD = 45^o . Поэтому DQ = DP = 1 . Следовательно, AM = AQ = AD - DQ = - 1 .

Ответ

- 1 .

Источники и прецеденты использования