|
|
 |
Условие
Прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так, что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что отношение большей стороны прямоугольника к меньшей не менее 2.
Решение
Пусть всего получилось n. треугольников. Тогда катетов – 2n, гипотенуз – n. Пусть m из этих n гипотенуз лежат на границе прямоугольника, тогда внутри него лежат n – m гипотенуз и столько же катетов, а на сторонах – n + m катетов. Следовательно, на границе лежат m + (n + m) = 2m + n вершин (четыре из которых – вершины прямоугольника).
Пусть k вершин треугольников лежат строго внутри прямоугольника; тогда сумма углов всех треугольников равна
180°n = 360°k + 180°(n + 2m – 4) + 90°·4. Отсюда k + m = 1.
m > 0, так как максимальная гипотенуза лежит на границе. Значит, k = 0, m = 1, поэтому наибольшая гипотенуза и соответствующая вершина прямого угла лежат на противоположных сторонах прямоугольника. Осталось заметить, что высота прямоугольного треугольника не больше половины гипотенузы.
Замечания
5 баллов
