|
|
 |
Условие
Десятичная запись натурального числа a состоит из n цифр, а десятичная запись числа a³ состоит из m цифр. Может ли m + n равняться 2001?
Решение 1
По условию 10n–1 ≤ a < 10n, следовательно, 103n–3 ≤ a³ < 103n. В записи чисел 103n–3 и 103n соответственно 3n – 2 и 3n + 1 цифр, поэтому
3n – 2 ≤ m < 3n + 1, откуда 4n – 2 ≤ n + m < 4n + 1. Таким образом, n + m не может давать остаток 1 при делении на 4, в частности, не может равняться 2001.
Решение 2
Ясно, что сумма n + m не убывает с ростом a. Число 10500 – наименьшее 501-значное число, а его куб 101500 – наименьшее 1501-значное число. Для этого числа n + m = 2002. Если же уменьшить число 10500 на единицу, то мы получим 500-значное число 10500 – 1, куб которого имеет не более 1500 знаков, то есть n + m ≤ 2000. Таким образом, промежуточное значение n + m = 2001 не реализуется ни для какого натурального a.
Ответ
Не может.
