ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Вялый М.Н.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]      



Задача 65839

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Четность и нечетность ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Вялый М.Н.

Аня, Боря и Витя сидят по кругу за столом и едят орехи. Сначала все орехи у Ани. Она делит их поровну между Борей и Витей, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит имеющиеся у него орехи поровну между соседями, а остаток съедает. Орехов много (больше 3). Докажите, что:
  a) хотя бы один орех будет съеден;
  б) все орехи не будут съедены.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98526

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Вялый М.Н.

В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98184

Темы:   [ Сочетания и размещения ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Неравенство Коши ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются непохожими, если они различаются не менее, чем по 51 признаку.
  а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.
  б) А может ли быть ровно 50?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98355

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10

Пусть  1 + x + x² + ... + xn–1 = F(x)G(x),  где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы  (n > 1).
Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде  (1 + x + x² + ... + xk–1)T(x),  где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1  (k > 1).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .