ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Митрофанов И.В.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 22]      



Задача 66837

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Дана возрастающая последовательность положительных чисел $$...< a_{-2} < a{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$$ бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых k подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих k членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}, ...$ либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66857

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Глеб задумал натуральные числа N и a, где a < N. Число a он написал на доске. Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить N с остатком на последнее выписанное на доску число и полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие N и a, чтобы сумма выписанных на доске чисел была больше 100N?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 22]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .