Внутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая ломаная (самопересекающаяся), содержащая 51 звено, причём известно, что длина каждого звена равна    .   Для каждого угла этой ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат звенья ломаной, образующие этот угол (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше, чем утроенная площадь правильного треугольника, вписанного в окружность.

   Решение

Две одинаковые шестерёнки имеют по 92 зубца. Их совместили и спилили одновременно 10 пар зубцов. Доказать, что одну шестерёнку можно повернуть относительно другой так, что в местах сломанных зубцов одной шестерёнки окажутся целые зубцы второй шестерёнки.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 1]      

Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности:

**** – ****.

Затем первый называет ещё одну цифру, второй ставит её, первый опять называет цифру, и так играют до тех пор, когда все звёздочки будут заменены цифрами. Первый стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй — чтобы она стала как можно меньше. Докажите, что

а) второй может расставлять цифры так, чтобы полученная разность стала не больше 4000, независимо от того, какие цифры называл первый;

б) первый может называть цифры так, чтобы разность стала не меньше 4000, независимо от того, куда расставляет цифры второй.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 1]