|
|
 |
Условие
Внутри окружности радиуса 1 расположена замкнутая ломаная (самопересекающаяся), содержащая 51 звено, причём известно, что длина каждого
звена равна . Для каждого угла этой ломаной рассмотрим треугольник, двумя сторонами которого служат звенья ломаной, образующие этот угол (таких треугольников всего 51). Докажите, что сумма площадей этих треугольников не меньше, чем утроенная площадь правильного треугольника, вписанного в окружность.
Решение
Пусть A1...A51A1 – данная ломаная,
Мы получили набор треугольников BjOBj+1 (j = 1, ..., 51), которые равны треугольникам, образованным соседними звеньями ломаной. Углы при общей вершине O этих треугольников заполняют, по крайней мере, один из развернутых углов B1OB52, следовательно, их сумма не меньше 180° (наложения только увеличивают сумму).
Хорда длины стягивает в исходной окружности дугу в 120°. Треугольник ∠BjOBj+1 вписан в окружность меньшего радиуса, значит, в ней хорды BjO и OBj+1 стягивают дуги, большие 120╟, а хорда BjBj+1 – дугу, меньшую 120°. Отсюда ∠BjOBj+1 < 60°.
Рассмотрим два остроугольных равнобедренных треугольника с данными равными боковыми сторонами и данной суммой углов при вершинах. Сумма их площадей тем меньше, чем больше разность углов при вершинах. Действительно, площадь пропорциональна синусу угла при вершине, а
sin α + sin β = 2 sin α+β/2 cos
α–β/2.
Будем проводить следующую операцию. Возьмём из нашего набора два неравносторонних треугольника (с углами α и β при вершинах) и заменим их либо на один треугольник с углом α + β при вершине (если α + β ≤ 60°), либо на на правильный треугольник и треугольник углом (α + β) – 60° при вершине (если
α + β > 60╟). Проделывая это с различными парами неравносторонних треугольников, мы постепенно уменьшаем число неравносторонних треугольников, не увеличивая сумму площадей и сохраняя сумму углов при вершинах. В конце концов, мы получим не меньше трёх правильных треугольников.
Замечания
6 баллов
