Каталог по источникам

Выбрано 6 задач

а) Пусть m₀ и m₁ – целые числа, 0 < m₁ ≤ m₀. Докажите, что при некотором k > 1 существуют такие целые числа a₀, a₁, ..., a_k и m₂, ..., m_k, что
m₁ > m₂ > m₃ > ... > m_k > 0, a_k > 1,
m₀ = m₁a₀ + m₂,
m₁ = m₂a₁ + m₃,
m₂ = m₃a₂ + m₄,
...
m_k–2 = m_k–1a_k–1 + m_k,
m_k–1 = m_ka_k,
и (m₀, m₁) = m_k.

б) Докажите, что для любого s от k – 1 до 0 существуют такие числа u_s, v_s, что m_su_s + m_s+1v_s = d, где d = (m₀, m₁).
В частности, для некоторых u и v выполняется равенство m₀u + m₁v = d.

Решение

На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжёт). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он – рыцарь!", либо "Он – лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

Решение

Квадратный лист клетчатой бумаги разбит на меньшие квадраты отрезками, идущими по сторонам клеток.
Докажите, что сумма длин этих отрезков делится на 4. (Длина стороны клетки равна 1.)

Решение

Треугольник A₁B₁C₁ получен из треугольника ABC поворотом на угол $\alpha$ ( $\alpha$ < 180^o) вокруг центра его описанной окружности. Докажите, что точки пересечения сторон AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ (или их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного треугольнику ABC.

Решение

Постройте треугольник ABC по a, h_a и R.

Решение

Автор: Анджанс А.

В соревновании участвуют 16 боксёров. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 10 дней можно определить место каждого боксёра.
(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

Решение

Задача 111344 (#6)