Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжёт). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он – рыцарь!", либо "Он – лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

Вниз   Решение


Квадратный лист клетчатой бумаги разбит на меньшие квадраты отрезками, идущими по сторонам клеток.
Докажите, что сумма длин этих отрезков делится на 4. (Длина стороны клетки равна 1.)

ВверхВниз   Решение


Треугольник A1B1C1 получен из треугольника ABC поворотом на угол $ \alpha$ ($ \alpha$ < 180o) вокруг центра его описанной окружности. Докажите, что точки пересечения сторон AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 (или их продолжений) являются вершинами треугольника, подобного треугольнику ABC.

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник ABC по a, ha и R.

ВверхВниз   Решение


Автор: Анджанс А.

В соревновании участвуют 16 боксёров. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 10 дней можно определить место каждого боксёра.
(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 6]      



Задача 111344  (#6)

Темы:   [ Раскраски ]
[ Деление с остатком ]
[ Четность и нечетность ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
  а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.
  б) При каких N такая раскраска возможна?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .