Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пользуясь теоремой о рациональных корнях многочлена (см. задачу 61013), докажите, что если  ^p/_q  рационально и  cos (^p/_q)° ≠ 0, ±½, ±1,  то
cos (^p/_q)°  – число иррациональное.

   Решение

---

Докажите, что произвольная последовательность Q_n, заданная условиями

может быть выражена через числа Фибоначчи F_n и числа Люка L_n (определение чисел Люка смотри в задаче 3.133).

   Решение

---

Докажите, что противоположные стороны шестиугольника, образованного сторонами треугольника и касательными к его вписанной окружности, параллельными сторонам, равны между собой.

   Решение

---

Дан остроугольный треугольник ABC. Окружности с центрами A и C проходят через точку B, вторично пересекаются в точке F и пересекают описанную окружность ω треугольника ABC в точках D и E. Отрезок BF пересекает окружность ω в точке O. Докажите, что O – центр описанной окружности треугольника DEF.

   Решение

---

Положительные числа х₁, ..., х_k удовлетворяют неравенствам  
  а) Докажите, что  k > 50.
  б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь k.
  в) Найти минимальное k, для которого пример возможен.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109526  (#93.5.9.6)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Внутри окружности расположен выпуклый четырехугольник, продолжения сторон которого пересекают ее в точках A₁ , A₂ , B₁ , B₂ , C₁ , C₂ , D₁ и D₂ 960. Докажите, что если A₁B₂=B₁C₂=C₁D₂=D₁A₂ , то четырехугольник, образованный прямыми A₁A₂ , B₁B₂ , C₁C₂ , D₁D₂ , можно вписать в окружность.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109527  (#93.5.9.7)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Четность и нечетность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на каждой горизонтали, вертикали и диагонали (не только на главных) находилось чётное число фишек?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109528  (#93.5.9.8)

Темы:   [ Квадратные уравнения и системы уравнений ] [ Теория игр (прочее) ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На доске написано n выражений вида  *x² + *x + * = 0  (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями