Версия для печати
Убрать все задачи

---

У бабушки была клетчатая тряпочка (см. рисунок). Однажды она захотела сшить из неё подстилку коту в виде квадрата размером 5×5. Бабушка разрезала тряпочку на три части и сшила из них квадратный коврик, также раскрашенный в шахматном порядке. Покажите, как она могла это сделать (у тряпочки одна сторона – лицевая, а другая – изнаночная, то есть части можно поворачивать, но нельзя переворачивать).

   Решение

---

Все клетки верхнего ряда квадрата 14× 14 заполнены водой, а в одной клетке лежит мешок с песком (см. рис.). За один ход Вася может положить мешки с песком в любые 3 не занятые водой клетки, после чего вода заполняет каждую из тех клеток, которые граничат с водой (по стороне), если в этой клетке нет мешка с песком. Ходы продолжаются, пока вода может заполнять новые клетки. Как действовать Васе, чтобы в итоге вода заполнила как можно меньше клеток?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60314  (#01.041)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Из квадрата клетчатой бумаги размером 16×16 вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на "уголки'' из трех клеток.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60315  (#1.42, 1.43, 1.44)  [Ханойская башня I]

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

  а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)?

  б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)?

  в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-й колышек?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60318  (#01.045)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для любого n, начиная с шести.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60319  (#01.046)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Докажите, что правильный треугольник можно разрезать на n правильных треугольников для любого n, начиная с шести.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60320  (#01.047)  [Золотая цепочка]

Темы:   [ Геометрическая прогрессия ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

   а) На постоялом дворе остановился путешественник, и хозяин согласился в качестве уплаты за проживание брать кольца золотой цепочки, которую тот носил на руке. Но при этом он поставил условие, чтобы оплата была ежедневной: каждый день хозяин должен был иметь на одно кольцо больше, чем в предыдущий. Замкнутая в кольцо цепочка содержала 11 колец, а путешественник собирался прожить ровно 11 дней, поэтому он согласился. Какое наименьшее число колец он должен распилить, чтобы иметь возможность платить хозяину?

   б) Из скольких колец должна состоять цепочка, чтобы путешественник мог прожить на постоялом дворе наибольшее число дней при условии, что он может распилить только n колец?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями