Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]

Задача 66023 (#10.6)

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Кожевников П.А.

Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число 1² + 2² + 2²). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66027 (#10.7)

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Грибалко А.В.

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66029 (#10.8)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов А.

Окружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что DE || AC. Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что DP || EQ. Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что ∠XBY + ∠PBQ = 180°.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]