Сфера касается боковых граней четырёхугольной пирамиды SABCD в точках, лежащих на рёбрах AB , BC , CD , DA . Известно, что высота пирамиды равна 2 , AB=6 , SA=5 , SB=7 , SC=2 . Найдите длины рёбер BC и CD , радиус сферы и двугранный угол при ребре SD .

   Решение

Дан параллелограмм ABCD. Прямая, параллельная AB, пересекает биссектрисы углов A и C в точках P и Q соответственно.
Докажите, что углы ADP и ABQ равны.

   Решение

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна a, боковое ребро равно b. Найдите радиус шара, касающегося сторон основания и продолжений боковых рёбер пирамиды.

   Решение

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна a , боковое ребро равно b . Найдите радиус шара, касающегося всех рёбер пирамиды.

   Решение

Шахматный король обошёл всю доску 8×8, побывав на каждой клетке по одному разу, вернувшись последним ходом в исходную клетку.
Докажите, что он сделал чётное число диагональных ходов.

   Решение

Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник ABC со стороной 4 . Рёбра SB и SC равны. Шар касается сторон основания, плоскости грани SBC , а также ребра SA . Чему равен радиус шара, если SA=3 ?

   Решение

Пусть I – центр вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC, касающейся катетов AC и BC в точках B₀ и A₀ соответственно. Перпендикуляр, опущенный из A₀ на прямую AI, и перпендикуляр, опущенный из B₀ на прямую BI, пересекаются в точке P. Докажите, что прямые CP и AB перпендикулярны.

   Решение

Клетчатая полоска 1×1000000 разбита на 100 сегментов. В каждой клетке записано целое число, причём в клетках, лежащих в одном сегменте, числа совпадают. В каждую клетку поставили по фишке. Затем сделали такую операцию: все фишки одновременно передвинули, каждую – на то количество клеток вправо, которое указано в её клетке (если число отрицательно, то фишка двигается влево); при этом оказалось, что в каждую клетку снова попало по фишке. Эту операцию повторяют много раз. Для каждой фишки первого сегмента подсчитали, через сколько операций она впервые снова окажется в этом сегменте. Докажите, что среди полученных чисел не более 100 различных.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]      

а) Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.

б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.

Прислать комментарий

Решение

Клетчатая полоска 1×1000000 разбита на 100 сегментов. В каждой клетке записано целое число, причём в клетках, лежащих в одном сегменте, числа совпадают. В каждую клетку поставили по фишке. Затем сделали такую операцию: все фишки одновременно передвинули, каждую – на то количество клеток вправо, которое указано в её клетке (если число отрицательно, то фишка двигается влево); при этом оказалось, что в каждую клетку снова попало по фишке. Эту операцию повторяют много раз. Для каждой фишки первого сегмента подсчитали, через сколько операций она впервые снова окажется в этом сегменте. Докажите, что среди полученных чисел не более 100 различных.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]