Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки
- глава 1. Нулевой цикл (22 задачи)
- глава 2. Четность (32 задачи)
- глава 3. Комбинаторика-1 (31 задача)
- глава 4. Делимость и остатки (56 задач)
- глава 5. Принцип Дирихле (32 задачи)
- глава 6. Графы-1 (18 задач)
- глава 8. Игры (38 задач)
- глава 10. Делимость-2 (99 задач)
- глава 11. Комбинаторика-2 (54 задачи)
- глава 12. Инвариант (29 задач)
- глава 13. Графы-2 (52 задачи)
- глава 15. Системы счисления (12 задач)
- глава 16. Неравенства (83 задачи)
Фильтр
Выбрано 19 задач Убрать все задачи
Решить в целых числах уравнение x² = 14 + y².
а) Сколькими способами можно разбить 15 человек на три команды по пять человек в каждой?
б) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две команды по пять человек в каждой?
Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?
Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C1. Точки A1, B1 определены аналогично. Докажите, что
а) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке;
б) треугольники ABC и A1B1C1 подобны.
Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что
а) pq + qp ≡ p + q (mod pq);
б) – чётное число, если p, q ≠ 2.
Пусть P(xn) делится на x – 1. Докажите, что P(xn) делится на xn – 1.
Найдите наименьшее число, записываемое одними
единицами, делящееся на
(в записи 100 троек).
Решить в целых числах уравнение x² + y² = 4z – 1.
а) Дано шестизначное число abcdef, причём abc + def делится на 37. Докажите, что и само число делится на 37.
б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 37.
Даны точки A, B. Найдите геометрическое место таких точек C, что C, середины отрезков AC, BC и точка пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной окружности.
С помощью двусторонней линейки постройте центр
данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки.
Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.
Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для
любого n, начиная с шести.
Даны две параллельные прямые и отрезок, лежащий на одной из них. Удвойте этот отрезок с помощью одной линейки.
Сколькими способами можно расселить 15 гостей в четырёх комнатах, если требуется, чтобы ни одна из комнат не осталась пустой?
Докажите, что число 30239 + 23930 составное.
Докажите, что в правильном тридцатиугольнике A1...A30 следующие тройки диагоналей:
а) A1A7, A2A9, A4A23;
б) A1A7, A2A15, A4A29;
в) A1A13, A2A15, A10A29
пересекаются в одной точке.
Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачёрпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?
Задачи Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 559]
Задача 30273 (#014) |
|
|
В поезде едут три мудреца. Внезапно поезд въезжает в туннель, и после того, как загорается свет, каждый из мудрецов видит, что лица его коллег испачканы сажей, влетевшей в окно вагона. Все трое начинают смеяться над своими испачкавшимися попутчиками, однако внезапно самый сообразительный мудрец догадывается, что его лицо тоже испачкано. Как ему это удалось?
|
|
Решение |
Задача 30274 (#015)[Задача Гельфанда] |
|
|
Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачёрпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?
|
|
Решение |
Задача 30275 (#016) |
|
|
Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
магический квадрат, то есть разместите их в таблице так,
чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были
одинаковы.
|
|
|
Решение |
Задача 30276 (#017) |
|
|
В примере на сложение цифры заменили буквами (причем одинаковые цифры - одинаковыми буквами, а разные цифры - разными буквами) и получили: БУЛОК + БЫЛО = МНОГО. Сколько же было булок? Их количество есть максимальное возможное значение числа МНОГО.
|
|
|
Решение |
Задача 30277 (#018) |
|
|
Разведка звездной империи ФИГ-45 перехватила секретное шифрованное сообщение враждебной планеты Медуза: ДУРАК + УДАР = ДРАКА. Известно, что разные цифры зашифрованы разными буквами, а одинаковые цифры - одинаковыми буквами. Два электронных думателя взялись найти решение и получили два разных ответа. Может ли такое быть или один из них надо сдать в переплавку?
|
|
|
Решение |
Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 559]
