Задача 98414
|
|
 |
Условие
Рассматриваются такие наборы действительных чисел {x1, x2, x3, ..., x20}, заключённых между 0 и 1, что x1x2x3...x20 = (1 – x1)(1 – x2)(1 – x3)...(1 – x20). Найдите среди этих наборов такой, для которого значение x1x2x3...x20 максимально.
Решение
Значение произведения x1x2...x20 максимально тогда же, когда максимально значение выражения (x1x2...x20)² = x1x2...x20(1 – x1)(1 – x2)...(1 – x20). Последнее произведение разбивается на множители вида xk(1 – xk), каждый из которых (например, согласно неравенству Коши) максимален при xk = ½.
Ответ
(½, ½, ..., ½).
Замечания
4 балла
