Диагональ BD трапеции ABCD равна m, а боковая сторона AD равна n. Найдите основание CD, если известно, что основание, диагональ и боковая сторона трапеции, выходящие из вершины C, равны между собой.

   Решение

Один квадрат вписан в окружность, а другой квадрат описан около той же окружности так, что его вершины лежат на продолжениях сторон первого (см. рисунок). Найдите угол между сторонами этих квадратов.

   Решение

Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство  |x| + |y| < 100?

   Решение

В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AC, пересекает сторону BC в точке M, а перпендикуляр, проходящий через сторону BC пересекает сторону AC в точке N. Прямая MN перпендикулярна AB и MN = . Найдите углы треугольника ABC.

   Решение

Через вершину A остроугольного треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC, равной a, и пересекающая окружности, построенные на сторонах AB и AC как на диаметрах, в точках M и N, отличных от A. Найдите MN.

   Решение

Точка D – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Окружность, проходящая через точки A, B и D, пересекает стороны AC и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABD и MNC равны.

   Решение

Из шахматной доски со стороной а) 2ⁿ; б) 6n + 1 выброшена одна клетка. Докажите, что оставшуюся часть доски можно замостить плитками, изображенными на рис.

   Решение

Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

   Решение

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точка $P$ выбрана так, что $AP=AB$ и $PB \parallel AC$. Точка $Q$ выбрана так, что $AQ=AC$ и $CQ \parallel AB$. Отрезки $CP$ и $BQ$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на окружности $(PXQ)$.

   Решение

а) Докажите, что  p² – 1  делится на 24, если p – простое число и  p > 3.
б) Докажите, что  p² – q²  делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      

а) Докажите, что  p² – 1  делится на 24, если p – простое число и  p > 3.
б) Докажите, что  p² – q²  делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3n одинаковых цифр, делится на 37.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере
  а) 8;  б) 32 различных делителя.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что числа    а)  2³²⁰⁰¹ + 1;     б)  2³²⁰⁰¹ – 1   – составные.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что
  а)  2⁴¹ + 1  делится на 83;
  б)  2⁷⁰ + 3⁷⁰  делится на 13;
  в)  2⁶⁰ – 1  делится на 20801.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]