В треугольнике $ABC$ $N$ – середина дуги $ABC$ описанной окружности треугольника, $NP$ и $NT$ – касательные к вписанной окружности. Прямые $BP$ и $BT$ пересекают второй раз описанную окружность треугольника в точках $P_1$ и $T_1$ соответственно. Докажите, что $PP_1=TT_1$.

   Решение

По кругу стоят 50 чисел (необязательно целых). Известно, что произведение любых 25 чисел отличается от произведения 25 остальных не более чем на 2. Докажите, что какие-то два соседних числа отличаются не более чем на 2.

   Решение

Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена произвольная точка M. Докажите, что можно выбрать на стороне AB точку C₁, на стороне BC – точку A₁, а на стороне AC – точку B₁ таким образом, чтобы длины сторон треугольника A₁B₁C₁ были равны отрезкам MA, MB и MC.

   Решение

Многоугольник (не обязательно выпуклый), вырезанный из бумаги, перегибается по некоторой прямой и обе половинки склеиваются. Может ли периметр полученного многоугольника быть больше, чем периметр исходного?

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁ и на сторонах AB и AC взяты точки K и L так, что AK = BC₁ и AL = CB₁. Докажите, что прямая AO, где O — центр описанной окружности треугольника ABC, делит отрезок KL пополам.

   Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 14]      

На сторонах BC и DC параллелограмма ABCD выбраны точки D₁ и B₁ так, что BD₁ = DB₁. Отрезки BB₁ и DD₁ пересекаются в точке Q. Докажите, что AQ — биссектриса угла BAD.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁ и на сторонах AB и AC взяты точки K и L так, что AK = BC₁ и AL = CB₁. Докажите, что прямая AO, где O — центр описанной окружности треугольника ABC, делит отрезок KL пополам.

Прислать комментарий

Решение

Медианы AA₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что если четырехугольник A₁BC₁M описанный, то AB = BC.

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника ABC взята точка O. Обозначим расстояния от точки O до сторон BC, CA, AB треугольника через  d_a, d_b, d_c, а расстояния от точки O до вершин A, B, C через  R_a, R_b, R_c. Докажите, что:
а)  aR_a cd_c + bd_b;
б)  d_aR_a + d_bR_b + d_cR_c 2(d_ad_b + d_bd_c + d_cd_a);
в)  R_a + R_b + R_c 2(d_a + d_b + d_c) (Эрдёш-Морделл);
г)  R_aR_bR_c (R/2r)(d_a + d_b)(d_b + d_c)(d_c + d_a).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 14]