Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что прямые, соединяющие противоположные точки касания описанного четырехугольника, проходят через точку пересечения диагоналей.

Вниз   Решение


Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

ВверхВниз   Решение


В выпуклом четырехугольнике ABCD существуют три внутренние точки  P1, P2, P3, не лежащие на одной прямой и обладающие тем свойством, что сумма площадей треугольников ABPi и CDPi равна сумме площадей треугольников BCPi и ADPi для i = 1, 2, 3. Докажите, что ABCD — параллелограмм.

ВверхВниз   Решение


α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos($ \alpha$/2)sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2) = (p - a)/4R;
б)  sin($ \alpha$/2)cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2) = ra/4R.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 57619  (#12.036)

Тема:   [ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 9

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  sin($ \alpha$/2)sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2) = r/4R;
б)  tg($ \alpha$/2)tg($ \beta$/2)tg($ \gamma$/2) = r/p;
в)  cos($ \alpha$/2)cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2) = p/4R.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57620  (#12.037)

Тема:   [ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 9

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos($ \alpha$/2)sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2) = (p - a)/4R;
б)  sin($ \alpha$/2)cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2) = ra/4R.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57621  (#12.038)

Тема:   [ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 2+
Классы: 9

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
cos$ \alpha$ + cos$ \beta$ + cos$ \gamma$ = (R + r)/R.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57622  (#12.039)

Тема:   [ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 9

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos 2$ \alpha$ + cos 2$ \beta$ + cos 2$ \gamma$ + 4 cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ + 1 = 0;
б)  cos2$ \alpha$ + cos2$ \beta$ + cos2$ \gamma$ + 2 cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ = 1.
в) cos 2$ \alpha$ + cos 2$ \beta$ + cos 2$ \gamma$ = $ {\frac{OH^2}{2R^2}}$ - $ {\frac{3}{2}}$, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57623  (#12.040)

Тема:   [ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 9

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
sin 2$ \alpha$ + sin 2$ \beta$ + sin 2$ \gamma$ = 4 sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .