Каждая из сторон выпуклого четырехугольника разделена на пять равных частей и соответствующие точки противоположных сторон соединены (см. рис.). Докажите, что площадь среднего (заштрихованного) четырехугольника в 25 раз меньше площади исходного.

   Решение

В каждой клетке доски 5×5 клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

   Решение

а) Внутри треугольника ABC расположен отрезок MN. Докажите, что длина MN не превосходит наибольшей стороны треугольника.
б) Внутри выпуклого многоугольника расположен отрезок MN. Докажите, что длина MN не превосходит наибольшей стороны или наибольшей диагонали этого многоугольника.

   Решение

Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O; M и N — середины сторон AB и CD, P и Q — середины диагоналей AC и BD. Докажите, что:
а)  S_PMQN = | S_ABD - S_ACD|/2;
б)  S_OPQ = S_ABCD/4.

   Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
cos + cos + cos = (R + r)/R.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  sin(/2)sin(/2)sin(/2) = r/4R;
б)  tg(/2)tg(/2)tg(/2) = r/p;
в)  cos(/2)cos(/2)cos(/2) = p/4R.

Прислать комментарий

Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos(/2)sin(/2)sin(/2) = (p - a)/4R;
б)  sin(/2)cos(/2)cos(/2) = r_a/4R.

Прислать комментарий

Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
cos + cos + cos = (R + r)/R.

Прислать комментарий

Решение

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos 2 + cos 2 + cos 2 + 4 coscoscos + 1 = 0;
б)  cos² + cos² + cos² + 2 coscoscos = 1.
в) cos 2 + cos 2 + cos 2 = - , где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

Прислать комментарий

Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
sin 2 + sin 2 + sin 2 = 4 sinsinsin.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]