Каталог по источникам

Выбрано 23 задачи

Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри ромба ABCD и обладающих тем свойством, что ∠AMD + ∠BMC = 180°.

Решение

На продолжениях сторон DA, AB, BC, CD выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки A₁, B₁, C₁, D₁ так, что $\overrightarrow{DA_1}$ = 2 $\overrightarrow{DA}$ , $\overrightarrow{AB_1}$ = 2 $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC_1}$ = 2 $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CD_1}$ = 2 $\overrightarrow{CD}$ . Найдите площадь получившегося четырехугольника A₁B₁C₁D₁, если известно, что площадь четырехугольника ABCD равна S.

Решение

Автор: Фольклор

Можно ли подобрать такие два натуральных числа X и Y, что Y получается из X перестановкой цифр, и X + Y = 9...9 (1111 девяток)?

Решение

Авторы: Зинич Е., Кожевников П.А.

На клетчатой доске размером 23×23 клетки стоят четыре фишки: в левом нижнем и в правом верхнем углах доски – по белой фишке, а в левом верхнем и в правом нижнем углах - по чёрной. Белые и чёрные фишки ходят по очереди, начинают белые. Каждым ходом одна из фишек сдвигается на любую соседнюю (по стороне) свободную клетку. Белые фишки стремятся попасть в две соседние по стороне клетки. Могут ли чёрные им помешать?

Решение

Автор: Фомин С.В.

Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причём Коля получил пятерок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, и двоек столько же, сколько Вася – пятёрок. При этом средний балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за январь получил Коля?

Решение

Автор: Плачко В.

Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.

Решение

Автор: Фомин С.В.

Среди десятизначных чисел каких больше: тех, которые можно представить как произведение двух пятизначных чисел, или тех, которые нельзя так представить?

Решение

Докажите, что медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Клетки шахматной доски занумерованы числами от 1 до 64 так, что соседние номера стоят в соседних (по стороне) клетках.
Какова наименьшая возможная сумма номеров на диагонали?

Решение

Авторы: Мёбиус А., Шарыгин И.Ф.

Можно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет и четыре другие – в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?

Решение

Автор: Фомин С.В.

а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть f_ij означает число различных путей, идущих из порта i в порт j. Докажите неравенство f₁₄f₂₃ ≥ f₁₃f₂₄.
б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (по кругу в этом порядке), то f₁₆f₂₅f₃₄ + f₁₅f₂₄f₃₆ + f₁₄f₂₆f₃₅ ≥ f₁₆f₂₄f₃₅ + f₁₅f₂₆f₃₄ + f₁₄f₂₅f₃₆.

Решение

Дан треугольник ABC. Найдите все такие точки P, что площади треугольников ABP, BCP и ACP равны.

Решение

Автор: Токарева И.

Пусть F₁, F₂, F₃, ... – последовательность выпуклых четырёхугольников, где F_k+1 (при k = 1, 2, 3, ...) получается так: F_k разрезают по диагонали, одну из частей переворачивают и склеивают по линии разреза с другой частью. Какое наибольшее количество различных четырёхугольников может содержать эта последовательность? (Различными считаются многоугольники, которые нельзя совместить движением.)

Решение

Автор: Фольклор

В окружность вписаны две равнобочные трапеции так, что каждая сторона одной трапеции параллельна некоторой стороне другой.
Докажите, что диагонали одной трапеции равны диагоналям другой.

Решение

Автор: Фольклор

В клетки шахматной доски записаны числа от 1 до 64 (первая горизонталь нумеруется слева направо числами от 1 до 8, вторая от 9 до 16 и т. д.). Перед некоторыми числами поставлены плюсы, перед остальными – минусы, так что в каждой горизонтали и в каждой вертикали по четыре плюса и по четыре минуса. Докажите, что сумма всех чисел равна 0.

Решение

Докажите, что не существует графа без петель и кратных рёбер с пятью вершинами, степени которых равны 4, 4, 4, 4, 2.

Решение

Семнадцать девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

Решение

У одного школьника есть 6 книг по математике, а у другого – 8. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?

Решение

Докажите, что в любом графе
а) сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер (и следовательно, чётна);
б) число вершин нечётной степени чётно.

Решение

Автор: Фольклор

Найти все такие натуральные k, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.

Решение

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

Решение

Билеты стоят 50 центов, и 2n покупателей стоят в очереди в кассу. Половина из них имеет по одному доллару, остальные – по 50 центов. Кассир начинает продажу билетов, не имея денег. Сколько существует различных порядков в очереди, таких, что кассир всегда может дать сдачу?

Решение

В некоторой школе каждый школьник знаком с 32 школьницами, а каждая школьница – с 29 школьниками. Кого в школе больше: школьников или школьниц и во сколько раз?

Решение

Задача 60335 (#02.001)

Задача 60336 (#02.002)

Задача 60337 (#02.003)

Задача 60338 (#02.004)

Задача 60339 (#02.005)