Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]

Задача 60523 (#03.071)

Тема:

[

Уравнения в целых числах

]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Найдите наименьшее c, при котором
а) уравнение 7x + 9y = c имело бы ровно шесть натуральных решений;
б) уравнение 14x + 11y = c имело бы ровно пять натуральных решений.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60524 (#03.072)

Тема:

[

Уравнения в целых числах

]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

В каких пределах должно заключаться c, чтобы уравнение 19x + 14y = c имело шесть натуральных решений?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60525 (#03.073)

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть a и b – натуральные взаимно простые числа. Рассмотрим точки плоскости с целыми координатами (x, y), лежащие в полосе 0 ≤ x ≤ b – 1. Каждой такой точке припишем целое число N(x, y) = ax + by.
а) Докажите, что для каждого натурального c существует ровно одна точка (x, y) (0 ≤ x ≤ b – 1), для которой N(x, y) = c.
б) Теорема Сильвестра. Докажите, что наибольшее c, для которого уравнение ax + by = c не имеет решений в целых неотрицательных числах, имеет вид
c = ab – a – b.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60526 (#03.074)

Тема:

[

Уравнения в целых числах

]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Пусть натуральные числа $a$ и $b$ взаимно просты. Докажите, что для того, чтобы уравнение $ax + by = c$ имело ровно $n$ целых положительных решений, значение $c$ должно находиться в пределах $(n - 1) \cdot ab + a + b \leqslant c \leqslant (n + 1) \cdot ab.$

Прислать комментарий

Решение

Задача 60527 (#03.075)

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Центральная симметрия	]
	[	Системы точек	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Отметим на прямой красным цветом все точки вида 81x + 100y, где x, y – натуральные, и синим цветом – остальные целые точки.
Найдите на прямой такую точку, что любые симметричные относительно неё целые точки окрашены в разные цвета.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]