Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 4. Арифметика остатков >> параграф 3. Сравнения
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданными стороной a и углом α.
Чему равен максимум суммы квадратов длин сторон b и c?

Вниз   Решение

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники ABC', AB'C и A'BC, причем сумма углов при вершинах A', B' и C' кратна  180o. Докажите, что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что для любых x1,..., xn $ \in$ [0; $ \pi$] справедливо неравенство:

sin$\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right.$$\displaystyle {\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{x_1+\ldots+x_n}{n}}\right)$ $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle {\dfrac{\sin x_1+\ldots+ \sin x_n}{n}}$.


ВверхВниз   Решение

На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке;  A1, B1, C1 и D1 — середины дуг AB, BC, CD и DA соответственно. Докажите, что  A1C1 $ \perp$ B1D1.

ВверхВниз   Решение

Равносильны ли сравнения  a ≡ b (mod m)  и   ac ≡ bc (mod mc)?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 57]      

  с решениями  

Задача 60676  (#04.050)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10,11

Что означают записи:   а) a ≡ b (mod 0);   б)  a ≡ b (mod 1)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60677  (#04.051)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9,10

Докажите, что если  a ≡ b (mod m)  и   c ≡ d (mod m),  то
  а)  a + c ≡ b + d (mod m);   б)  ac ≡ bd (mod m).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60678  (#04.052)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Из свойств сравнений следует, что с классами вычетов можно делать все операции, которые допустимы для целых чисел: складывать, вычитать, умножать, возводить в степень. Отличие будет лишь в том, что построенная арифметика действует на конечном множестве классов вычетов. Например, для  m = 6  получаются такие таблицы сложения и умножения:

         
Постройте аналогичные таблицы сложения и умножения для модулей  m = 7, 8, ..., 13.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60679  (#04.053)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Когда сравнения  a ≡ b (mod m)  и   ac ≡ bc (mod m)  равносильны?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60680  (#04.054)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Равносильны ли сравнения  a ≡ b (mod m)  и   ac ≡ bc (mod mc)?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 57]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .