Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 7. Комплексные числа
>>
параграф 1. Комплексная плоскость
Фильтр
Выбрано 18 задач Убрать все задачи
Из полоски бумаги шириной 1 см склеили цилиндрическое кольцо с длиной окружности 4 см. Можно ли из этого кольца изготовить квадрат, имеющий площадь: а) 1 кв.см; б) 2 кв.см. Бумагу разрешается склеивать, складывать, но НЕЛЬЗЯ резать.
Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q.
Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.
Последовательность чисел x0, x1, x2,...задается условиями
На плоскости начерчен треугольник и в нём отмечены две точки. Известно, что какой-то из углов треугольника равен 58°, какой-то из остальных – 59°, какая-то из отмеченных точек является центром вписанной окружности, а другая – центром описанной. Используя только линейку без делений, определите, где какой угол и где какая точка.
Докажите, что если M' и N' — образы многоугольников M
и N при аффинном преобразовании, то отношение
площадей M и N равно отношению площадей M' и N'.
Решите уравнение 3x + 5y = 7 в целых числах.
Дано 25 чисел. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?
В пространстве отмечены пять точек. Известно, что это центры сфер, четыре из которых попарно касаются извне и касаются изнутри пятой сферы. При этом невозможно определить, какая точка является центром объемлющей сферы. Найдите отношение радиусов наибольшей и наименьшей сферы.
Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
а) (2n+1)-угольника; б) 2n-угольника?
Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.
На доске написано несколько положительных чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано на доске?
Найдите углы выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором
BAC = 30o,
ACD = 40o,
ADB = 50o,
CBD = 60o и
ABC +
ADC = 180o.
На прямой даны точки А, В и, кроме того, 57 точек, лежащих вне отрезка АВ. Каждая из этих 57 точек – либо красного, либо синего цвета. Рассмотрим следующие суммы:
S1 – сумма расстояний от точки А до всех красных точек плюс сумма расстояний от точки В до всех синих точек;
S2 – сумма расстояний от точки А до всех синих точек плюс сумма расстояний от точки В до всех красных точек.
Доказать, что S1 ≠ S2.
Высота прямоугольного треугольника ABC, опущенная на
гипотенузу, равна 9.6. Из вершины C прямого угла восставлен к
плоскости треугольника ABC перпендикуляр CM, причем CM = 28.
Найдите расстояние от точки M до гипотенузы AB.
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF
попарно параллельны. Докажите, что:
а) площадь треугольника ACE составляет не менее половины площади
шестиугольника.
б) площади треугольников ACE и BDF равны.
Решите в целых числах уравнение 1990x – 173y = 11.
Известно, что выражение 14x + 13y делится на 11 при некоторых целых x и y. Докажите, что 19x + 9y также делится на 11 при таких x и y.
Придайте смысл равенству = (–1)1/i ≈ 231/7.
Задачи Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 83]
Задача 61120 (#07.056) |
|
|
Как на комплексной плоскости определить показательную функцию az?
|
|
Решение |
Задача 61121 (#07.057) |
|
|
Придайте смысл равенству = (–1)1/i ≈ 231/7.
|
|
Решение |
Задача 61122 (#07.058) |
|
|
Пусть z = e2πi/n = cos 2π/n + i sin 2π/n. Для произвольного целого a вычислите суммы
а) 1 + za + z2a + ... + z(n–1)a;
б) 1 + 2za + 3z2a + ... + nz(n–1)a.
|
|
|
Решение |
Задача 61123 (#07.059) |
|
|
а) Докажите равенство: cos φ + ... + cos nφ = ;
б) Вычислите сумму: sinφ + ... + sin nφ.
|
|
|
Решение |
Задача 61124 (#07.060) |
|
|
Докажите равенство: = tg nα.
|
|
|
Решение |
Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 83]
