Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 11. Последовательности и ряды >> параграф 2. Рекуррентные последовательности
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.

Вниз   Решение

Автор: Нагаев Н.Д.

Даны два треугольника A1A2A3 и B1B2B3. "Опишите" вокруг треугольника A1A2A3 треугольник M1M2M3 наибольшей площади, подобный треугольнику B1B2B3 (вершина A1 должна лежать на прямой M2M3, вершина A2 – на прямой A1A3, вершина A3 – на прямой A1A2).

ВверхВниз   Решение

В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для
  а)  m = n = 2;
  б)  m = 2  и произвольного n;
  в) любых натуральных m и n.

ВверхВниз   Решение

Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательности {an} имеет корень x0 кратности 2. Докажите, что при фиксированных a0, a1 существует ровно одна пара чисел c1, c2 такая, что

an = (c1 + c2n)x0n        (n = 0, 1, 2,...).


ВверхВниз   Решение

Автор: Дынкин Е.Б.

На кафтане площадью 1 размещены 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше 1/2. Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше 1/5.

ВверхВниз   Решение

Даны числа 1, 2, 3, ..., 1000. Найдите наибольшее число m, обладающее таким свойством: какие бы m из данных чисел ни вычеркнуть, среди оставшихся  1000 – m  чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.

ВверхВниз   Решение

Автор: Произволов В.В.

2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.

ВверхВниз   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота  CH. Докажите, что  AC² = AB·AH  и  CH² = AH·BH.

ВверхВниз   Решение

Многоугольник M' гомотетичен многоугольнику M с коэффициентом гомотетии -1/2. Докажите, что существует параллельный перенос, переводящий многоугольник M' внутрь многоугольника M.

ВверхВниз   Решение

Даны окружность S и точки A и B вне ее. Для каждой прямой l, проходящей через точку A и пересекающей окружность S в точках M и N, рассмотрим описанную окружность треугольника BMN. Докажите, что все эти окружности имеют общую точку, отличную от точки B.

ВверхВниз   Решение

Найдите высоту трапеции, у которой основания равны a и b (a < b), угол между диагоналями равен 90o, а угол между продолжениями боковых сторон равен 45o.

ВверхВниз   Решение

Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n $ \geqslant$ 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 5an + 1 - 6an;
б) a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = 3an + 1 - 2an;
в) a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = an + 1 + an;
г) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 = 2an + 1 - an;
д) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 2an + 1 + an.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

  с решениями  

Задача 61458  (#11.031)

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
Сложность: 2
Классы: 8,9,10,11

Определение. Последовательность чисел a0, a1,...,an,..., которая удовлетворяет с заданными p и q соотношению

an+2=pan+1+qan (n=0,1,2,...) (11.2)

называется линейной рекуррентной (возвратной) последовательностью второго порядка.
Уравнение
x 2-px-q=0 (11.3)

называется характеристическим уравнением последовательности (a n).
Докажите, что если числа a0, a1 фиксированы, то все остальные члены последовательности {an} определяются однозначно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61459  (#11.032)

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10,11

Докажите, что геометрическая прогрессия {an} = bx0n удовлетворяет соотношению (11.2 ) тогда и только тогда, когда x0 -- корень характеристического уравнения (11.3 ) последовательности {an}.
Прислать комментарий     Решение

Задача 61460  (#11.033)

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Пусть характеристическое уравнение ( 11.3) последовательности {an} имеет два различных корня x1 и x2. Докажите, что при фиксированных a0, a1 существует ровно одна пара чисел c1, c2 такая, что

an = c1x1n + c2x2n        (n = 0, 1, 2,...).


Прислать комментарий     Решение

Задача 61461  (#11.034)

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательности {an} имеет корень x0 кратности 2. Докажите, что при фиксированных a0, a1 существует ровно одна пара чисел c1, c2 такая, что

an = (c1 + c2n)x0n        (n = 0, 1, 2,...).


Прислать комментарий     Решение

Задача 61462  (#11.035)

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n $ \geqslant$ 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 5an + 1 - 6an;
б) a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = 3an + 1 - 2an;
в) a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = an + 1 + an;
г) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 = 2an + 1 - an;
д) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 2an + 1 + an.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .