Версия для печати
Убрать все задачи
а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами
со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди
них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей
которых не меньше 1/9.
б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что
из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с
общей площадью не менее 1/9.
Решение
Точка $X$ расположена внутри параллелограмма $ABCD$.
Докажите, что $S_{ABX}+S_{CDX}=S_{BCX}+S_{ADX}$.
Решение
На плоскости лежат две одинаковые буквы 
.
Концы коротких палочек этих букв обозначим A и A'.
Длинные палочки разбиты на n равных частей точками
A1,..., An - 1;
A1',..., An - 1' (точки деления
нумеруются от концов длинных палочек). Прямые AAi и A'Ai'
пересекаются в точке Xi. Докажите, что точки
X1,..., Xn - 1
образуют выпуклый многоугольник.
Решение
а) Определение (смотри в справочнике)
функций gk,l(x) не позволяет вычислять их значения при x = 1. Но, поскольку функции gk,l(x) являются многочленами, они определены и при x = 1. Докажите равенство 
б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 61522 подставить значение x = 1?
Решение
В пачке 20 карточек: синие, красные и желтые. Синих в шесть раз меньше, чем желтых, и красных меньше, чем желтых. Какое наименьшее количество карточек надо вытащить не глядя, чтобы среди них обязательно оказалась красная?
Решение
Фильтр
