Версия для печати
Убрать все задачи

---

Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Сначала в последовательности одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерёма – вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.

   Решение

---

  Для каждого натурального n обозначим через P(n) число разбиений n в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например,  P(4) = 5,  потому что  4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1  – пять способов).
  а) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его разбросом (например, разбиение  4 = 1 + 1 + 2  имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа). Докажите, что сумма Q(n) разбросов всех разбиений числа n равна   1 + P(1) + P(2) + ... + P(n–1).
  б) Докажите, что  

   Решение

---

При каких  n > 2  можно расставить целые числа от 1 до n по кругу так, чтобы сумма каждых двух соседних чисел делилась нацело на следующее за ними по часовой стрелке?

   Решение

---

По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (k-й и (k+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k–1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97833

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоят солдатики. Ваня называет число d, а Петя переставляет солдатиков так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше d (расстояние берётся между центрами старой и новой клеток). При каких d это возможно?
б) Эта же задача для квадрата 21×21.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97834  (#2)

Темы:   [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Апофема пирамиды (тетраэдра) ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97836  (#3)

Темы:   [ Полуинварианты ] [ Перестановки и подстановки ] [ Процессы и операции ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (k-й и (k+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k–1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97832  (#4)

Темы:   [ Непрерывные функции (общие свойства) ] [ Монотонность, ограниченность ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке  [0, 1].  Известно, что область её значений принадлежит отрезку  [0, 1].  Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна ¹/_n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97838  (#5)

Темы:   [ Раскладки и разбиения ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

  Для каждого натурального n обозначим через P(n) число разбиений n в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например,  P(4) = 5,  потому что  4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1  – пять способов).
  а) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его разбросом (например, разбиение  4 = 1 + 1 + 2  имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа). Докажите, что сумма Q(n) разбросов всех разбиений числа n равна   1 + P(1) + P(2) + ... + P(n–1).
  б) Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями