Каждое из рёбер полного графа с 6 вершинами покрашено в один из двух цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

   Решение

Три гнома живут в разных домах на плоскости и ходят со скоростями 1, 2 и 3 км/ч соответственно. Какое место для ежедневных встреч нужно им выбрать, чтобы сумма времён, необходимых каждому из гномов на путь от своего дома до этого места (по прямой), была наименьшей?

   Решение

Существует ли на плоскости конечный набор различных векторов , , ..., такой, что для любой пары различных векторов из этого набора найдётся такая другая пара из этого набора, что суммы каждой из пар равны между собой?

   Решение

Последовательность {a_n} определяется правилами:  a₀ = 9,    .
Докажите, что в десятичной записи числа a₁₀ содержится не менее 1000 девяток.

   Решение

В круге проведены два диаметра AB и CD. Доказать, что если M — произвольная точка окружности, а P и Q — её проекции на диаметры AB и CD, то длина отрезка PQ не зависит от выбора точки M.

   Решение

В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом A первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше A и при этом стоят правее A. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д.
  а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей).
  б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?

   Решение

Из спичек сложен клетчатый квадрат 9×9, сторона каждой клетки – одна спичка. Петя и Вася по очереди убирают по спичке, начинает Петя. Выиграет тот, после чьего хода не останется целых квадратиков 1×1. Кто может действовать так, чтобы обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

   Решение

На плоскости дано 100 окружностей, составляющих связную (то есть не распадающуюся на части) фигуру.
Докажите, что эту фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды одну и ту же линию.

   Решение

а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

   Решение

В таблице
    0 1 2 3 ... 9
    9 0 1 2 ... 8
    8 9 0 1 ... 7
        ...
    1 2 3 4 ... 0
отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.
Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.

   Решение

На урок физкультуры пришло $12$ детей, все разной силы. Учитель $10$ раз делил их на две команды по $6$ человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все $10$ раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?

   Решение

Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?

Прислать комментарий

Решение

Существуют ли три таких различных простых числа p, q, r, что  p² + d  делится на qr,  q² + d  делится на rp,  r² + d  делится на pq, если
  а)  d = 10,
  б)  d =11?

Прислать комментарий

Решение

Докажите неравенство  

Прислать комментарий

Решение

а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

Прислать комментарий

Решение

Существует ли такое шестизначное число A, что среди чисел  A, 2A, ..., 500000A  нет ни одного числа, оканчивающегося шестью одинаковыми цифрами?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]