а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA₁ и PB₁ на прямые BC и AC. Докажите, что  PA ^. PA₁ = 2Rd, где R — радиус описанной окружности, d — расстояние от точки P до прямой A₁B₁.
б) Пусть  — угол между прямыми A₁B₁ и BC. Докажите, что  cos = PA/2R.

   Решение

С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:

А) приписать на конце цифру 4;

Б) приписать на конце цифру 0;

В) разделить на 2 (если число чётно).

Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А и Б, то получим число 140.

а) Из числа 4 получите число 1972.

б)* Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.

   Решение

(Число разбиений; предлагалась на Всесоюзной олимпиаде по программированию 1988 года) Пусть P(n) — число разбиений целого положительного n на целые положительные слагаемые (без учёта порядка, 1 + 2 и 2 + 1 — одно и то же разбиение). При n = 0 положим P(n) = 1 (единственное разбиение не содержит слагаемых). Построить алгоритм вычисления P(n) для заданного n.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]      

(Число разбиений; предлагалась на Всесоюзной олимпиаде по программированию 1988 года) Пусть P(n) — число разбиений целого положительного n на целые положительные слагаемые (без учёта порядка, 1 + 2 и 2 + 1 — одно и то же разбиение). При n = 0 положим P(n) = 1 (единственное разбиение не содержит слагаемых). Построить алгоритм вычисления P(n) для заданного n.

Прислать комментарий

Решение

(Счастливые билеты; предлагалась на Всесоюзной олимпиаде по программированию 1989 года.) Последовательность из 2n цифр (каждая цифра от 0 до 9) называется счастливым билетом, если сумма первых n цифр равна сумме последних n цифр. Найти число счастливых последовательностей данной длины.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что n-е число Каталана (количество последовательностей длины  2n из n единиц и n минус единиц, в любом начальном отрезке которых не меньше единиц, чем минус единиц) равно   

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 3]