Найдите радиус окружности, касающейся двух равных окружностей радиуса R и их общей касательной прямой. Равные окружности касаются друг друга.

Три окружности с центрами A, B и C, касающиеся друг друга и прямой l, расположены так, как показано на рисунке. Пусть a, b и c – радиусы окружностей с центрами A, B и C соответственно. Докажите, что .

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]      

На доске записаны два числа: 2014 и 2015. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За один ход можно
  - либо уменьшить одно из чисел на его ненулевую цифру или на ненулевую цифру другого числа;
  - либо разделить одно из чисел пополам, если оно чётное.
Выигрывает тот, кто первым напишет однозначное число. Кто из них может выиграть, как бы ни играл соперник?

Решение

  Пусть Петя первым ходом заменит 2015 на 2014, а каждым следующим ходом будет уравнивать числа (он всегда может это сделать, повторив ход Васи с тем числом, которое Вася не менял):

  Если Петя будет действовать так всю игру, то, конечно, в некоторый момент Вася сделает из одного из двух одинаковых чисел однозначное и выиграет.
  Но посмотрим на этот момент внимательнее. Если Вася выиграл, заменив в паре (X, X)одно из двух чисел X на однозначное, то перед этим, на ходу Пети, число X на доске уже было. В этот момент Петя может заменить X на однозначное число и выиграть:

  (Петя может так пойти, потому что у него есть все возможности, которые были у Васи на последнем, выигрышном ходе: делить число X пополам, если оно чётное, и вычитать из него его же цифру.)
  Итак, сформулируем стратегию Пети полностью: "если одно из чисел можно заменить на однозначное – сделать это; в противном случае уравнять два числа".

Ответ

Петя.

Прислать комментарий

Придя в школу, Коля и Алиса обнаружили на доске надпись: "ГОРОДСКАЯ УСТНАЯ ОЛИМПИАДА". Они договорились сыграть в следующую игру: за один ход в этой надписи разрешается стереть произвольное количество одинаковых букв, а выигрывает тот, кто стирает последнюю букву. Первым ходил Коля и стёр последнюю букву "А". Как надо играть Алисе, чтобы обеспечить себе выигрыш?

Решение

Назовём кратностью буквы то количество раз, в котором эта буква встречается в надписи. После хода Коли, буквы "А" и "О" имеют кратность 3, буквы "Д", "И", "С" и "Я" – кратность 2, а буквы "Г", "К", "Л", "М", "Н", "П", "Р", "Т" и "У" – кратность 1. Для того, чтобы выиграть, Алисе надо сначала стереть любую букву кратности 1, чтобы количество букв каждой кратности стало чётным. Далее Алисе надо играть так, чтобы после каждого её хода количество букв каждой кратности было чётным. Для этого ей следует в ответ на каждый Колин ход стирать такое же количество букв той же кратности. Например, если Коля сотрёт три буквы "А", то Алиса должна стереть три буквы "О", а если Коля сотрёт одну букву "Д", то Алиса может стереть также одну букву "И". Тогда на каждый ход Коли у Алисы будет ответный ход, поэтому именно она сделает последний ход и выиграет.

Прислать комментарий

На прямой сидят 2019 точечных кузнечиков. За ход какой-нибудь из кузнечиков прыгает через какого-нибудь другого так, чтобы оказаться на прежнем расстоянии от него. Прыгая только вправо, кузнечики могут добиться того, чтобы какие-то двое из них оказались на расстоянии ровно 1 мм друг от друга. Докажите, что кузнечики могут добиться того же, прыгая из начального положения только влево.

Решение

Назовем самого левого кузнечика Ричардом. Пусть тогда сначала все кузнечики, кроме Ричарда, перепрыгнут через Ричарда. Ясно, что теперь кузнечики находятся в конфигурации, симметричной изначальной. Тогда они могут, используя ходы, симметричные тем, которые они бы делали при прыжках вправо, добиться требуемого.

Прислать комментарий

На прямой сидят 2019 точечных кузнечиков. За ход какой-нибудь из кузнечиков прыгает через какого-нибудь другого так, чтобы оказаться на прежнем расстоянии от него. Прыгая только вправо, кузнечики могут добиться того, чтобы какие-то двое из них оказались на расстоянии ровно 1 мм друг от друга. Докажите, что кузнечики могут добиться того же, прыгая из начального положения только влево.

Решение

Назовём самого левого кузнечика Ричардом. Пусть сначала все остальные кузнечики перепрыгнут через Ричарда. Теперь кузнечики находятся в положении, симметричном изначальному. Поэтому они могут, используя ходы, симметричные тем, которые делали бы при прыжках вправо, добиться требуемого.

Прислать комментарий

На некотором поле шахматной доски стоит фишка. Двое по очереди переставляют фишку, при этом на каждом ходу, начиная со второго, расстояние, на которое она перемещается, должно быть строго больше, чем на предыдущем ходу. Проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Фишка ставится всегда точно в центр каждого поля.)

Решение

  Пусть первый каждый раз ходит на поле, центрально симметричное тому, на котором стоит фишка. Первым ходом он, очевидно, может это сделать. Докажем по индукции, что он может это делать всегда, а после каждого хода второго расстояние от фишки до центра O доски увеличивается.
  Шаг индукции. Пусть после какого-то хода первого фишка попала в точку K и  OK = r.  Значит, ранее все точки (центры полей), посещенные фишкой, лежали в круге радиуса r с центром O, а этим ходом первый переместил фишку на расстояние 2r. Второй (если он смог сделать ход) переместил фишку в некоторую точку M, причём  KM = 2R > 2r.  Следовательно,  OM > KM – OK = 2R – r > R > r.  Поэтому на симметричной точке M' фишка ещё не была, и первый может переместить фишку туда. При этом он передвинет её на расстояние  2OM > 2R.
  Игра закончится, так как число возможных значений расстояния от фишки до центра доски конечно. Поскольку первый всегда может сделать ход, то проиграет второй.

Прислать комментарий

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]