Версия для печати
Убрать все задачи
На плоскости даны точки O, M и прямая l, проходящая через
точку O. Прямую l повернули вокруг точки O против часовой стрелки
на угол 
, получив прямую l1. Докажите, что точка, симметричная
точке M относительно прямой l1, получается из точки, симметричной
точке M относительно прямой l, поворотом вокруг точки O против
часовой стрелки на угол 2.
Решение
Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена произвольная точка M. Докажите, что можно выбрать на стороне AB точку C1, на стороне BC – точку A1, а на стороне AC – точку B1 таким образом, чтобы длины сторон треугольника A1B1C1 были равны отрезкам MA, MB и MC.
Решение
Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел a1, a2, ..., a2017 и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) a1 камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) – a2 камней, ..., наконец, в оставшуюся коробку – a2017 камней. Пашина цель – добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 43 хода, но нельзя – за меньшее ненулевое число ходов?
Решение
Фильтр
