Страница:
<< 1 2 3 >> [Всего задач: 13]
[Обмены квартир]
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10
|
В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи
обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в
другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня.
(Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10
|
В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10
|
Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих предшественников в
круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз меняли местами только
два портрета, висящие рядом, причём это не должны быть портреты двух королей,
один из которых царствовал сразу после другого. Кроме того, ему важно лишь
взаимное расположение портретов, и два расположения, отличающиеся поворотом
круга, он считает одинаковыми. Доказать, что как бы сначала ни висели портреты,
король может по этим правилам добиться любого нового их расположения.
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
a1, a2, ..., a101 – такая перестановка чисел 2, 3, ..., 102, что ak делится на k при каждом k. Найти все такие перестановки.
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Числа 1, 2, 3, ..., n записываются в некотором порядке: a1, a2, a3, ..., an. Берётся сумма S = a1/1 + a2/2 + ... + an/n. Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках a1, a2, a3, ..., an) встретились все целые числа от n до n + 100.
Страница:
<< 1 2 3 >> [Всего задач: 13]