Фильтр
Выбрано 24 задачи Убрать все задачи
Крестьянину надо перевезти через речку волка, козу и капусту. Лодка вмещает одного человека, а с ним либо волка, либо козу, либо капусту. Если без присмотра оставить козу и волка, волк съест козу. Если без присмотра оставить капусту и козу, коза съест капусту. Как крестьянину перевезти свой груз через речку?
Существует ли такая бесконечная последовательность натуральных чисел, что для любого натурального k сумма любых k идущих подряд членов этой последовательности делится на k + 1?
На плоскости нарисовано 12 прямых, проходящих через точку О. Докажите, что можно выбрать две из них так, что угол между ними будет меньше 17 градусов.
Какое самое большое число ладей можно поставить на шахматную доску 8 на 8 так, чтобы они не били друг друга?
Докажите, что при инверсии сохраняется угол между
окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).
В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.
Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов которых делится на 100.
Докажите, что
SABC AB . BC/2.
Сто человек сидят за круглым столом, причём более половины из них – мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротив друга.
Двое по очереди ломают шоколадку 6×8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет в этой игре?
Даны отрезки AB, CD и точка O. Конец отрезка называется "отмеченным", если прямая, проходящая через него и точку O, не пересекает другой отрезок. Сколько может быть отмеченных концов?
Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность которых делится на 1987.
Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.
Путешественник, сняв в гостинице комнату на неделю, предложил хозяину в уплату цепочку из семи серебряных колец — по кольцу за день, с тем, однако, условием, что будет рассчитываться ежедневно. Хозяин согласился, оговорив со своей стороны, что можно распилить только одно кольцо. Как путешественнику удалось расплатиться с хозяином гостиницы?
На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a + b – 1.
Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника
попарно равны и параллельны. Докажите, что он имеет центр симметрии.
Внутри прямоугольника ABCD взята точка M. Докажите, что
существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями
длины AB и BC, стороны которого равны AM, BM, CM, DM.
Докажите, что две непересекающиеся окружности S1 и S2
(или окружность и прямую) можно при помощи
инверсии перевести в пару концентрических окружностей.
Существует ли такая бесконечная последовательность, состоящая из
а) действительных
б) целых
чисел, что сумма любых десяти подряд идущих чисел положительна, а сумма любых первых подряд идущих 10n + 1 чисел отрицательна при любом натуральном n?
Имеются 12-литровый бочонок, наполненный квасом, и два пустых бочонка –
в 5 и 8 л. Попробуйте, пользуясь этими бочонками:
а) разделить квас на две части – 3 и 9 л;
б) разделить квас на две равные части.
10 друзей послали друг другу праздничные открытки, так что каждый послал
пять открыток.
Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.
Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.
В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом A первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше A и при этом стоят правее A. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д.
а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой –
нулевые (состоят из сплошных нулей).
б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?
Трое туристов должны перебраться с одного берега реки на другой. В их распоряжении старая лодка, которая может выдержать нагрузку всего в 100 кг. Вес одного из туристов 45 кг, второго — 50 кг, третьего — 80 кг. Как должны они действовать, чтобы перебраться на другой берег?
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 276]
Задача 35703 |
|
|
У Вани работает 10 сотрудников. Каждый месяц Ваня повышает зарплату на 1 рубль
ровно девятерым (по своему выбору).
Как Ване повышать зарплаты, чтобы сделать их одинаковыми? (Зарплата – целое число рублей.)
|
|
Решение |
Задача 87963 |
|
|
Крестьянину надо перевезти через речку волка, козу и капусту. Лодка вмещает одного человека, а с ним либо волка, либо козу, либо капусту. Если без присмотра оставить козу и волка, волк съест козу. Если без присмотра оставить капусту и козу, коза съест капусту. Как крестьянину перевезти свой груз через речку?
|
|
Решение |
Задача 87982 |
|
|
Имеются 12-литровый бочонок, наполненный квасом, и два пустых бочонка –
в 5 и 8 л. Попробуйте, пользуясь этими бочонками:
а) разделить квас на две части – 3 и 9 л;
б) разделить квас на две равные части.
|
|
|
Решение |
Задача 88131 |
|
|
Трое туристов должны перебраться с одного берега реки на другой. В их распоряжении старая лодка, которая может выдержать нагрузку всего в 100 кг. Вес одного из туристов 45 кг, второго — 50 кг, третьего — 80 кг. Как должны они действовать, чтобы перебраться на другой берег?
|
|
|
Решение |
Задача 98363 |
|
|
Первоначально на каждом поле доски 1×n стоит шашка. Первым ходом разрешается переставить любую шашку на соседнюю клетку (одну из двух, если шашка не с краю), так что образуется столбик из двух шашек. Далее очередным ходом каждый столбик можно передвинуть в любую сторону на столько клеток, сколько в нём шашек (в пределах доски); если столбик попал на непустую клетку, он ставится на стоящий там столбик и объединяется с ним. Докажите, что за n – 1 ход можно собрать все шашки на одной клетке.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 276]
