Версия для печати
Убрать все задачи

---

Три окружности проходят через точку X. A, B, C – точки их пересечения, отличные от X. A' – вторая точка пересечения прямой AX и описанной окружности треугольника BCX. Точки B' и C' определяются аналогично. Докажите, что треугольники ABC', AB'C и A'BC подобны.

   Решение

---

Существует ли такой набор из 10 натуральных чисел, что каждое не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных?

   Решение

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 201]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78516

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Найти все такие натуральные числа n, что число  (n – 1)!  не делится на n².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98137

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Четность и нечетность ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что произведение всех целых чисел от  2¹⁹¹⁷ + 1  до  2¹⁹⁹¹ – 1  включительно не есть квадрат целого числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98383

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Существует ли такой набор из 10 натуральных чисел, что каждое не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107846

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Можно ли найти восемь таких натуральных чисел, что ни одно из них не делится ни на какое другое, но квадрат любого из этих чисел делится на каждое из остальных?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110093

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Деление с остатком ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Какова наибольшая длина арифметической прогрессии из натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_n с разностью 2, обладающей свойством:    – простое при всех  k = 1, 2, ..., n?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 201]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями