Страница: << 68 69 70 71 72 73 74 >> [Всего задач: 369]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60757

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Малая теорема Ферма ] [ Уравнения в целых числах ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и  p > 5.  Докажите, что если разрешимо сравнение  x⁴ + x³ + x² + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то   p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  5n + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78213

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Разложение на множители ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  p + n^2k  ни при каких простых p и целых n и k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78619

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Уравнения в целых числах ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Обозначим через d(N) число делителей N (числа 1 и N также считаются делителями). Найти все такие N, что число  P =   – простое.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98410

Темы:   [ Деление с остатком ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Уравнения в целых числах ] [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 4 Классы: 7,8

Шайка разбойников отобрала у купца мешок монет. Каждая монета стоит целое число грошей. Оказалось, что какую бы монету ни отложить, оставшиеся монеты можно разделить между разбойниками так, чтобы каждый получил одинаковую сумму в грошах. Докажите, что если отложить одну монету, то число монет разделится на число разбойников.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98456

Темы:   [ Взвешивания ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 68 69 70 71 72 73 74 >> [Всего задач: 369]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями