Страница:
<< 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 208]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Двум гениям сообщили по натуральному числу и сказали, что эти числа отличаются на 1. После этого они по очереди задают друг другу один и тот же вопрос: "Знаешь ли ты мое число?". Докажите, что рано или поздно один из них ответит положительно.
Подсказка
Если одному из гениев сообщили число 1, то он знает, что второму сообщили число 2.
Решение
Если число одного из гениев равно m, то он знает, что число другого гения равно либо m + 1, либо m – 1; ему остаётся определить только то, какая из этих двух возможностей имеет место. Когда гений A отвечает на вопрос "Знаешь ли ты моё число?" в первый раз, он может ответить положительно только если его число равно 1 (в этом случае число второго однозначно равно 2). Если ответ был отрицательный, то второй гений B узнает, что число A не равно 1 (хотя он это и так знает, если его число больше 2!). Далее, если при втором задании вопроса B отвечает отрицательно, то A узнает, что число B не равно 1 и 2 (если число B равно 2, он наверняка знал бы, что число A равно 3, поскольку после первого вопроса он знает, что оно не равно 1).
Пусть перед очередным вопросом одного из гениев (для определенности, A) обоим гениям известно, что число A не равно 1, 2, ..., k, а число B не равно 1, 2, ..., k – 1. Если B ответил отрицательно, то его число не равно k (иначе он бы знал, что число A равно k + 1, также его число не равно k + 1 (иначе он бы знал, что число A равно k + 2, поскольку оно не может быть равно k). Итак, в случае отрицательного ответа B мы приходим к ситуации, аналогичной только что рассмотренной: перед вопросом B обоим гениям известно, что число B не равно 1, 2, ..., k + 1, а число A не равно 1, 2, ..., k.
Далее при повторении отрицательных ответов каждый из гениев будет постепенно определять, что число другого гения не равно ни одному числу из начального отрезка натурального ряда. Так как числа гениев конечны, то процесс отрицательных ответов рано или поздно прекратится; это означает, что один из гениев ответит на вопрос положительно.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
Одного из близнецов зовут Ваня, другого – Витя. Один из братьев всегда говорит правду, а другой всегда лжет. Можно задать один вопрос одному из братьев, на который тот ответит "да" или "нет". Выясните, кого из близнецов как зовут.
Подсказка
Для близнеца, которому мы задаём вопрос, имеется четыре возможности: он Ваня-лжец, Ваня-правдивец, Витя-лжец, либо Витя-правдивец. Попробуйте задать такой вопрос, положительный ответ на который означал бы, что выполнена одна из первых двух возможностей.
Решение
Зададим вопрос: "Верно ли, что ты либо Ваня-правдивец, либо Витя-лжец?". Легко проверить, что Ваня должен ответить "да", а Витя – "нет".
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Гениальные математики. а) Каждому из двух
гениальных математиков сообщили по натуральному числу, причем им
известно, что эти числа отличаются на единицу. Они поочередно
спрашивают друг друга: "Известно ли тебе мое число?"
Докажите, что рано или поздно кто-то из них ответит "да". Сколько вопросов они зададут друг другу? (Математики
предполагаются правдивыми и бессмертными.)
б) Как изменится число заданных вопросов, если с самого начала
известно, что данные числа не превосходят 1000?
Перед началом чемпионата школы по шахматам каждый из участников сказал, какое место он рассчитывает занять. Семиклассник Ваня сказал, что займёт последнее место. По итогам чемпионата все заняли различные места, и оказалось, что каждый, кроме, разумеется, Вани, занял место хуже, чем ожидал. Какое место занял Ваня?
Решение
Так как каждый из школьников (кроме Вани) занял место хуже, чем ожидал, то первое место не занял никто из них. Следовательно, первое место занял Ваня.
Ответ
Первое место.
Врун всегда лжёт, Хитрец говорит правду или ложь, когда захочет, а Переменчик говорит то правду, то ложь попеременно. Путешественник встретил Вруна, Хитреца и Переменчика, которые знают друг друга. Сможет ли он, задавая им вопросы, выяснить, кто есть кто?
Решение
Спросим каждого из них по два раза: "Ты Врун?". Врун ответит: "нет, нет", а Переменчик ответит: либо "да, нет", либо "нет, да". Есть три возможных ответа Хитреца.
1) "Да, да". Тогда мы сразу узнаём, кто есть кто.
2) "Нет, нет". Тогда мы знаем, кто Переменчик и какой из двух его ответов правдив. Зададим Переменчику вопрос: "Он Врун?", указав на одного из двух оставшихся. Так как мы уже знаем, ответит ли Переменчик правду на третий вопрос, то мы поймём, кто из двоих Врун, а, значит, и кто из них Хитрец.
3) "Да, нет" или "нет, да". Тогда мы знаем, кто Врун. Зададим Вруну вопрос: "Он Хитрец?", указав на одного из двух оставшихся. По его ответу мы узнаем, кто из двоих Хитрец, а, значит, и кто из них Переменчик.
Ответ
Сможет.
Страница:
<< 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 208]
Тема:
Все темы
>>
Логика и теория множеств
>>
Математическая логика
>>
Математическая логика (прочее)
