Страница:
<< 21 22 23 24
25 26 27 >> [Всего задач: 332]
В одном государстве 100 городов и каждый соединён с каждым дорогой с односторонним движением. Докажите, что можно поменять направление движения не более чем на одной дороге так, чтобы от каждого города можно было доехать до любого другого.
Сумма положительных чисел x1, x2, ..., xn равна ½. Докажите, что 
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На плоскости нарисовано несколько точек, некоторые пары точек соединены отрезками. Известно, что из каждой точки выходит не более k отрезков. Докажите, что точки можно покрасить в k + 1 цвет таким образом, чтобы каждые две точки, соединенные отрезком, были покрашены в разные цвета.
|
[Числа-автоморфы]
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
а) Трёхзначное число 625 обладает своеобразным свойством самовоспроизводимости, как то: 625² = 390625. БикЮ
Сколько четырёхзначных чисел удовлетворяют уравнению x² ≡ x (mod 10000)?
б) Докажите, что при любом k существует ровно четыре набора из k
цифр – 0...0, 0...01 и ещё два, оканчивающиеся пятеркой и шестёркой, – обладающие таким свойством: если натуральное число оканчивается одним из этих наборов цифр, то его квадрат оканчивается тем же набором цифр.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Для каких натуральных
n в выражении
±12±22±32±...±n2
можно так расставить знаки + и
-, что в результате получится 0?
Страница:
<< 21 22 23 24
25 26 27 >> [Всего задач: 332]
Фильтр
