ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 73]      



Задача 35475

Темы:   [ Полуинварианты ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

На квадратном поле 10*10 девять клеток 1*1 поросли бурьяном. После этого бурьян может распространиться на клетку, у которой не менее двух соседних клеток уже поросли бурьяном. Докажите, что тем не менее бурьян не сможет распространиться на все клетки.
Прислать комментарий     Решение


Задача 35138

Тема:   [ Полуинварианты ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

На доске записаны несколько чисел. За один ход разрешается любые два из них a и b, одновременно не равные нулю, заменить на числа  a – b/2  и  b + a/2.  Можно ли через несколько таких ходов получить на доске исходные числа?

Прислать комментарий     Решение

Задача 105076

Темы:   [ Полуинварианты ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В колоде часть карт лежит рубашкой вниз. Время от времени Петя вынимает из колоды пачку из одной или нескольких подряд идущих карт, в которой верхняя и нижняя карты лежат рубашкой вниз, переворачивает всю пачку как одно целое и вставляет её в то же место колоды (если "пачка" состоит лишь из одной карты, то требуется только, чтобы она лежала рубашкой вниз). Докажите, что в конце концов все карты лягут рубашкой вверх, как бы ни действовал Петя.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66566

Темы:   [ Полуинварианты ]
[ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На доске написаны $1000$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее; все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся $1000$ последовательных целых чисел.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73649

Темы:   [ Полуинварианты ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел a, b, c, d произведение чисел  a – d  и  b – c  отрицательно, то числа b и c можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 73]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .