Страница:
<< 38 39 40 41
42 43 44 >> [Всего задач: 279]
В некотором царстве, в некотором государстве было выпущено неограниченное
количество монет достоинством в n1, n2, n3, ... копеек, где
n1 < n < 2 < n3 < ... – бесконечная последовательность, состоящая из натуральных чисел. Докажите, что эту последовательность можно оборвать, то есть найдётся такое число N, что любую сумму, которую можно уплатить без сдачи выпущенными монетами, на самом деле можно уплатить только монетами достоинством в n1, n2, ..., nN копеек.
а) Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, что из двух чисел a/b + b/c + c/a и b/a + c/b + a/c ровно одно – целое?
б) Докажите, что если они оба целые, то a = b = c.
Шайка разбойников отобрала у купца мешок монет. Каждая монета стоит целое
число грошей. Оказалось, что какую бы монету ни отложить, оставшиеся монеты
можно разделить между разбойниками так, чтобы каждый получил одинаковую сумму
в грошах. Докажите, что если отложить одну монету, то число монет разделится на число разбойников.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член – это наименьшее натуральное число, которое еще не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое
натуральное число входит в эту последовательность.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Найдите свободный член многочлена P(x) с целыми коэффициентами, если известно, что он по модулю меньше тысячи, и P(19) = P(94) = 1994.
Страница:
<< 38 39 40 41
42 43 44 >> [Всего задач: 279]
Фильтр
