Страница:
<< 49 50 51 52 53 54
55 >> [Всего задач: 275]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа n, взаимно простого с числом 10, можно указать такую группу стоящих подряд цифр последовательности, что записываемое этими цифрами число делится на n.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и точка с координатой d, где d – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Пусть a0 – целое, a1, ..., an – натуральные числа. Определим две последовательности
P–1 = 1, P0 = a0, Pk = akPk–1 + Pk–2 (1 ≤ k ≤ n); Q–1 = 0, Q0 = 1, Qk = akQk–1 + Qk–2 (1 ≤ k ≤ n).
Дроби Pk/Qk называются подходящими дробями к числу [a0; a1, a2, ..., an].
Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
а) Pk/Qk = [a0; a1, a2,..., ak];
б) PkQk–1 – Pk–1Qk = (–1)k+1;
в) (Pk, Qk) = 1.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Пусть p – простое число и p > 3.
а) Докажите, что если разрешимо сравнение x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 6).
б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 6k + 1.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Пусть p – простое число и p > 5. Докажите,
что если разрешимо сравнение x4 + x3 + x2 + x + 1 ≡ 0 (mod p), то
p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 5n + 1.
Страница:
<< 49 50 51 52 53 54
55 >> [Всего задач: 275]
Фильтр
