ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 60777

Темы:   [ Функция Эйлера ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Докажите равенства:
  а)  φ(m) φ(n) = φ((m, n)) φ([m, n]);
  б)  φ(mn) φ((m, n)) = φ(m) φ(n) (m, n).
Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60832

 [Китайская теорема об остатках и функция Эйлера]
Темы:   [ Функция Эйлера ]
[ Китайская теорема об остатках ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что число x является элементом приведённой системы вычетов тогда и только тогда, когда числа a1, ..., an, определённые сравнениями
x ≡ a1 (mod m1),  ..., x ≡ an (mod mn)  принадлежат приведённым системам вычетов по модулям m1, ..., mn соответственно. Выведите отсюда мультипликативность функции Эйлера.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60764

Темы:   [ Функция Эйлера ]
[ Формула включения-исключения ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть    Докажите равенство   φ(n) = n(1 – 1/p1)...(1 – 1/ps).
  а) пользуясь мультипликативностью функции Эйлера;
  б) пользуясь формулой включения-исключения.
Определение функции Эйлера φ(n) см. в задаче 60758.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60775

 [Тождество Гаусса]
Тема:   [ Функция Эйлера ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите тождество Гаусса  φ(d ) = n. Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66840

Темы:   [ Функция Эйлера ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Формула включения-исключения ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Некоторые из чисел 1, 2, 3, ..., $n$ покрашены в красный цвет так, что выполняется условие: если для красных чисел $a, b, c$ (не обязательно различных)  $a(b - c)$  делится на $n$, то  $b = c$.
Докажите, что красных чисел не больше чем φ($n$).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .