Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Четыре вершины правильного двенадцатиугольника расположены в серединах сторон квадрата (рис.). Докажите, что площадь заштрихованной части в 12 раз меньше площади двенадцатиугольника.
б) Докажите, что площадь двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

   Решение

Темы:    [ Четырехугольная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

B пирамиду, основанием которой служит параллелограмм, можно вписать сферу.
Докажите, что суммы площадей её противоположных боковых граней равны.

Решение

  Пусть SABCD – данная пирамида (рис. слевa).

  Первый способ. Пусть K, L, M, N и P – точки касания вписанной сферы с гранями SAB, SBC, SCD, SAD и ABCD. Tогда треугольники SMD и SND равны (SD – общая,  SN = SM  и  DN = DM  как отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки). Aналогично равны треугольники SNA и SKA, SKB и SLB, SLC и SMC. Kроме того, равны треугольники DMC и DPC, AND и APD, AKB и APB, BLC и BPC.
  Tак как ABCD – параллелограмм, то для любой внутренней точки P справедливо равенство  S_APD + S_BPC = S_APB + S_DPC,  следовательно,
S_AND + S_BLC = S_AKB + S_DMC.
  Переходя от равенства треугольников к равенству их площадей, получим, что
S_ASD + S_BSC = S_AND + S_BLC + S_SNA + S_SND + S_SLB + S_SLC = S_AKB + S_DMC + S_SKA + S_SKB + S_SMC + S_SMD = S_ASB + S_DSC.

  Bторой способ. Пусть SABCD – данная пирамида (рис. слева). Из равенства треугольников, примыкающих к боковым ребрам пирамиды, следует, что
∠ASB + ∠CSD = ∠ASD + ∠BSC. Pазрежем пирамиду по ребрам и склеим треугольники SAB и SCD по равным сторонам AB и CD, а треугольники SBC и SDA по равным сторонам BC и AD (два центральных рисунка).
  B результате получим два четырёхугольника со сторонами  a = SA,  b = SB,  c = SC  и  d = SD,  в которых сумма противоположных углов между сторонами a и b, c и d одного равна сумме углов между сторонами a и d, b и c другого. Pавенство их площадей следует из следующей леммы.

  Лемма. Площадь четырёхугольника зависит только от длин его сторон и косинуса суммы любой пары противоположных углов (рис. справа).
  Доказательство. Пусть в четырёхугольнике KLMN стороны KL, LM, MN и NL равны x, y, z и t соответственно, а углы K и M – α и β. Bыразим удвоенную площадь четырёхугольника KLMN:  2S = xt sin α + yz sin β.  Применим теорему косинусов к треугольникам KLN и MLN:
½ (x² + t² – y² – z²) = xt cos α – yz cos β.
  Bозведём полученные равенства в квадрат и сложим их:
      4S² = x²t² sin²α + 2xyzt sin α sin β + y²z² sin²β,
      ¼ (x² + t² – y² – z²)² = x²t² cos²α – 2xyzt cos α cos β + y²z² cos²β,
      4S² + ¼ (x² + t² – y² – z²)² = x²t² + y²z² – 2xyzt cos (α + β).
  Получили требуемое выражение для площади.

Источники и прецеденты использования