Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём  ace ≠ 0.  Известно, что значения выражений  |ax + b| + |cx + d|  и  |ex + f |  равны при всех значениях x.
Докажите, что  ad = bc.

   Решение

Числа a и b таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов  x² + ax + b  и  x² + bx + a  имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.

   Решение

Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Тригонометрические замены ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Среди всех решений системы
    x² + y² = 4,
    z² + t² = 9,
    xt + yz = 6
выберите те, для которых величина  x + z  принимает наибольшее значение.

Решение

  Рассмотрим векторы  a = (x, y)  и  b = (t, z).  По условию  |a| = 2,  |b| = 3,  (a, b) = 6 = |a||b|.  Значит, векторы a и b направлены одинаково, то есть
a = 2(u, v),  b = 3(u, v).
  Положим  u = cos φ,  v = sin φ,  тогда    
  Максимальное значение    достигается, когда  

Ответ

Источники и прецеденты использования