|
|
 |
Условие
На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, кратное 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами.
Докажите, что существует такая цифра, что если её впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, получится число, делящееся на 7.
Решение
Пусть исходное число имеет вид ¯AB, причём A при делении на 7 даёт остаток r. Возьмём такую цифру a, что 2r+a делится на 7 (она, очевидно, найдётся). Будем делить число вида ¯Aa...aB на 7 в столбик. Когда мы закончим делить A, останется остаток r. На следующем шаге мы будем делить на 7 число 10r+a=7r+(2r+a)+r, снова получается остаток r. На следующих шагах это повторяется, пока мы не дойдём до деления на 7 числа ¯rB, которое кратно 7 по условию.
Замечания
5 баллов
