Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, A', B', C', D' – центры описанных сфер тетраэдров IBCD, ICDA, IDBA, IABC соответственно.
Докажите, что описанная сфера тетраэдра ABCD целиком лежит внутри описанной сферы тетраэдра A'B'C'D'.

   Решение

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точки B1 и C1 расположены на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC . Отрезки BB1 и CC1 пересекаются в точке P ; O – центр вписанной окружности треугольника AB1C1 , M – точка касания этой окружности с отрезком B1C1 . Известно, что прямые OP и BB1 перпендикулярны. Докажите, что AOC1 = MPB1 .

Решение

Обозначим AB1C1 = β . Тогда

AOC1 = 90^o+, MB1O = .
Из точек P и M отрезок OB1 виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OB1 . Вписанные в эту окружность углы MPO и MB1O опираются на одну и ту же дугу, поэтому MPO = MB1O = . Следовательно,
MPB1 = OPB1 + MPO = 90^o+ = AOC1,
что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования