В треугольнике ABC  M – точка пересечения медиан, I – центр вписанной окружности, A₁ и B₁ – точки касания этой окружности со сторонами BC и AC, G – точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Докажите, что угол CGI прямой тогда и только тогда, когда   GM || AB.

   Решение

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Длины трёх сторон четырёхугольника, вписанного в окружность радиуса 2, одинаковы и равны 2. Найдите четвёртую сторону.

Подсказка

Докажите, что данный четырёхугольник — равнобокая трапеция. Далее примените теорему синусов.

Решение

Пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 2, причём AB = BC = CD = 2. Обозначим CAD = . Поскольку равные хорды стягивают равные дуги, а вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны, то ACB = CAD. Поэтому BCAD. Следовательно, ABCD — равнобокая трапеция.

Из теоремы синусов следует, что

sin = sinCAD = = = .

Поскольку BAC = CAD = , то BAD = 2

Пусть P — проекция точки B на большее основание AD трапеции ABCD. Из прямоугольного треугольника ABP находим, что

AP = AB cos 2 = 2(1 - 2 sin²) = 21 - 2 ^. = .

По свойству равнобокой трапеции AP = . Отсюда находим, что

AD = 2AP + BC = 2 ^. + 2 = 3 + 2 = 5.

Ответ

5.

Источники и прецеденты использования