Найдите все такие простые числа p, что число  p² + 11  имеет ровно шесть различных делителей (включая единицу и само число).

   Решение

Темы:    [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Cкрещивающиеся прямые, угол между ними ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В пространстве проведены три прямые, не лежащие в одной плоскости. но при этом никакие две не являются скрещивающимися. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку либо параллельны.

Решение

Пусть a , b и c – данные прямые. Через прямые a и b проведём плоскость α (это можно сделать, т.к. прямые a и b не являются скрещивающимися). Ясно, что прямая c не может лежать в плоскости α , т.к. по условию задачи прямые a , b и c не лежат в одной плоскости. Если прямая c пересекает плоскость α в точке A (рис.1), то точка A должна лежать на прямой a , т.к. в противном случае прямые c и a – скрещивающиеся (признак скрещивающихся прямых). Аналогично, точка A лежит на прямой b . Следовательно, все три прямые проходят через точку A . Если прямая c параллельна плоскости α (рис.2), то плоскость β , проведённая через прямые a и c , пересекается с плоскостью α по прямой a1 , параллельной прямой c , а т.к. прямая a1 совпадает с прямой a (пересечением двух плоскостей является прямая), то прямая c параллельна прямой a . Аналогично, прямая c параллельна прямой b . Следовательно, все три прямые параллельны.

Источники и прецеденты использования