Сто медвежат нашли в лесу ягоды: самый младший успел схватить 1 ягоду, медвежонок постарше – 2 ягоды, следующий – 4 ягоды, и так далее, самому старшему досталось 2⁹⁹ ягод. Лиса предложила им поделить ягоды "по справедливости". Она может подойти к двум медвежатам и распределить их ягоды поровну между ними, а если при этом возникает лишняя ягода, то лиса её съедает. Такие действия она продолжает до тех пор, пока у всех медвежат не станет ягод поровну. Какое наибольшее количество ягод может съесть лиса?

   Решение

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани – равные между собой треугольники. Докажите, что если достроить равногранный тетраэдр до параллелепипеда, проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей, то получится прямоугольный параллелепипед,

Решение

Докажем сначала, что у равногранного тетраэдра противоположные рёбра попарно равны. Пусть ABCD – тетраэдр, в котором грани – равные разносторонние треугольники со сторонами a , b и c . Причём AB=c , AC=b и BC=a . Тогда CD=c , т.к. в противном случае либо треугольник ABD , либо BDC был бы равнобедренным, что невозможно. Аналогично, BD=AC=b и AD=BC = a . Если грани – равные равнобедренные треугольники, утверждение очевидно. Перейдём к нашей задаче. У полученного параллелепипеда каждая грань – параллелограмм с равными диагоналями, т.е. прямоугольник. Следовательно, параллелепипед – прямоугольный.

Источники и прецеденты использования