Задача 111503

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вневписанные окружности ] [ Площадь треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Площадь прямоугольного треугольника равна r2 , где r – радиус окружности, касающейся одного катета и продолжений другого катета и гипотенузы. Найдите стороны треугольника.

Решение

Пусть окружность с центром O касается катета BC прямоугольного треугольника ABC в точке D , продолжения катета AC – в точке E , а продолжения гипотенузы AB – в точке F . Обозначим BC=a , p – полупериметр треугольника, S – площадь. Тогда

AE+AF=(AC+CE)+(AB+BF) = (AC+CD)+(AB+BD) =

=AC+(CD+BD)+AB= AC+BC+AB = 2p,
а т.к. AE=AF , то AE=AF=p . Кроме того,
r2 = S = S_{Δ AOE}+S_{Δ AOF} - S_ECBF= S_{Δ AOE}+S_{Δ AOF} - 2S_{Δ BOC}=

=AE· OE + AF· OF - BC· OD= pr + pr - ar=(p-a)r,
откуда p-a= r . Следовательно,
AB = AF-BF=AF-BD = p-(a-r) = (p-a)+r=r+r=r.
Поскольку четырёхугольник CDOE – квадрат, CE=OD = r , поэтому
AC=AE-CE=p-r=(p-a) + a-r=r+a-r = a-r.
По теореме Пифагора
BC2+AC2 = AB2, a2+(a-r)2 = r2, 3a2-ar-4r2=0,
откуда находим, что BC= a=r . Тогда
AC=a-r= r-r = r.

Ответ

r , r , r .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4588