Маша считает, что два арбуза тяжелее трёх дынь, Аня считает, что три арбуза тяжелее четырёх дынь. Известно, что одна из девочек права, а другая ошибается. Верно ли, что 12 арбузов тяжелее 18 дынь? (Считается, что все арбузы весят одинаково и все дыни весят одинаково.)

   Решение

Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ..., 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?

   Решение

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

а) Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр вписанной окружности, O_b — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A, C, O и O_b лежат на окружности с центром M.
б) Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что прямые AO, BO и CO проходят через центры описанных окружностей треугольников BCO, ACO и ABO. Докажите, что O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

а) Так как AOM = BAO + ABO = (A + B)/2 и OAM = OAC + CAM = A/2 + CBM = (A + B)/2, то MA = MO. Аналогично MC = MO.
Так как треугольник OAO_b прямоугольный и  AOM = MAO = , то  MAO_b = MO_bA = 90^o - , а значит, MA = MO_b. Аналогично MC = MO_b.
б) Пусть P — центр описанной окружности треугольника ACO. Тогда  COP = (180^o - CPO)/2 = 90^o - OAC. Поэтому  BOC = 90^o + OAC. Аналогично  BOC = 90^o + OAB, а значит,  OAB = OAC. Аналогично доказывается, что точка O лежит на биссектрисах углов B и C.

Источники и прецеденты использования