Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Маша считает, что два арбуза тяжелее трёх дынь, Аня считает, что три арбуза тяжелее четырёх дынь. Известно, что одна из девочек права, а другая ошибается. Верно ли, что 12 арбузов тяжелее 18 дынь? (Считается, что все арбузы весят одинаково и все дыни весят одинаково.)
Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, ..., 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?
|
|
 |
Условие
Внутри прямоугольного листа бумаги вырезали n прямоугольных дыр со сторонами, параллельными краям листа. На какое наименьшее число прямоугольных частей можно гарантированно разрезать этот дырявый лист? (Дыры не перекрываются и не соприкасаются.)
Решение
Оценка. Будем считать, что одна из сторон листа вертикальна. Вдоль каждой вертикальной "стороны" одной из дырок проведём вертикальный разрез до "упора" в горизонтальную сторону соседней дырки или в край листа. Повторим эту процедуру для всех дырок (рис. слева). После этого лист "распадётся" на некоторое количество m прямоугольников (действительно, у полученных частей все углы прямые).
У каждого прямоугольника четыре угла, значит, общее число углов всех прямоугольников равно 4m. С другой стороны, к четырём углам исходного листа каждый из 2n разрезов добавляет не более шести прямых углов (см. рис. слева, некоторые углы, образованные каким-то разрезом, могут совпадать с углами, образованными другими разрезами), поэтому число углов не превосходит 12n + 4.
Таким образом, 4m ≤ 12n + 4, то есть m ≤ 3n + 1.
Ответ
На 3n + 1 часть.
Замечания
9 баллов
